En marchant dans les rues de Ljubljana, j’ai observé sur le sol des rues principales le pavage suivant. Cela m’a rappelé la fascinante histoire mathématique de la découverte et du calcul de tels pavages (en anglais tessellation). Elle est particulièrement bien racontée dans le livre du mathématicien chilien Andrés Navas: Un viaje a las ideas: 33 historias matemáticas (non paru en français).

Le pavage ci-contre contient deux formes (un carré et un losange). La disposition permet de recouvrir intégralement la surface, c’est à dire sans laisser d’espace entre les formes, et de manière périodique (répétition sur la surface). Ce sont les deux propriétés mathématiques du pavage.

Il existe toute sorte de pavages, les plus simples étant le pavage régulier, c’est à dire la répétition d’un polygone régulier (tous les côtés et tous les angles sont égaux entre eux). Il n’en existe que trois : les pavages par triangles, carrés et hexagones.

En combinant des polygones réguliers de telle sorte qu’à chaque sommet le motifs soit le même (les mêmes polygones dans le même ordre), on peut construire 8 pavages différents, dits semi-réguliers :

Liste des pavages semi-réguliers. Source funmaths.com.

On peut d’ailleurs y reconnaître le pavage de Ljubljana en haut à droite, où le losange irrégulier est divisé en deux triangles réguliers. Ce pavage porte le doux nom de pavage carré adouci (en anglais snub square).

Il existe un grand nombre de pavages impliquant des polygones réguliers, qui peuvent être classés par le nombre de motifs aux sommets. S’il y en a n, alors le pavage est dit n-uniforme. Par exemple le pavage suivant est 2-uniforme : soit on se trouve sur un sommet d’un triangle vert (ce qui équivaut à être sur le coin d’un carré rouge), soit on se trouve sur un point qui est le sommet de six triangles jaunes (au milieu de l’espace jaune en somme), c’est à dire 2 options possibles :

Il existe un grand nombre (fini) de pavages impliquant des polygones réguliers, et un nombre infini de pavages impliquant des formes irrégulières.

Un de ces pavages irréguliers est le pavage du Caire, qui est constitué d’un pentagone irrégulier répété. Il porte ce nom car il apparaît sur les rues du Caire, en Égypte.

Le pavage du Caire. Malgré les couleurs différents, le polygone est bien identique. Image créée par R. A. Nonenmacher.

Or il se trouve que le pavage du Caire et le duel du pavage de Ljubljana. C’est à dire qu’en prenant le centre de chaque polygone du pavage de Ljubljana et en les reliant entre eux, on trouve le pavage du Caire. Voici l’ensemble des duels des huit pavage semi-réguliers (source mathworld.wolfram.com):

Les duels sont en rouge.

On reconnaît en bas à gauche le pavage de Ljubljana, et son duel en rouge: le pavage du Caire.

 

Sources utilisées :

Une réflexion sur “Dualité entre Ljubljana et le Caire

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