Un regard humain sur Grigori Perelman

(source de l’image en une : theologhia.wordpress.com)

Je poste ce billet suite à la lecture d’une biographie non officielle de Grigori Perelman de Masha Gessen : « Dans la tête d’un génie ». Ecrit en 2009 (en anglais je crois), et traduit en français depuis octobre 2013.

Grigori Perelman a résolu la célèbre conjecture de Poincaré, gagné une médaille Fields à ce titre (qu’il a refusé), gagné le prix du millénaire d’un million de dollar de l’institut Clay récompensant la résolution de sept problèmes mathématiques majeurs (qu’il a refusé également) et s’est retiré peu à peu du monde mathématique et humain en général depuis sa découverte en 2003.

C’est en tout cas une vision très limitée qui laisse cours à une image forcément déformée de ce qu’est le personnage de Perelman. A travers un travail de recherche précis, et sans jamais avoir rencontré Perelman, Masha Gessn assemble les éléments explicatifs à la fois du problème de la conjecture, de la vision des mathématiques par Perelman et de l’évolution avec ses pairs de sa carrière de mathématicien. Car de tels faits nécessitent bien quelques explications.

Perelman a toujours eu une relation unique avec les mathématiques. Sa manière de les considérer comme une science pure et autosuffisante, de les traiter comme un idéal de beauté et de concision va bien au-delà de ses contemporains. Sa quasi inexpérience de l’échec est troublante, et ses relations au monde, hors les mathématiques, ont toujours été d’une confondante distance, d’un je-m’en-foutisme naturel. Ce qui inclut les prix, l’argent et les autres personnes. Il n’y a pas d’agressivité ni dédain, mais plutôt une distance marquée par de l’incompréhension et du désintérêt. L’hypothèse du syndrome d’Aspenger que fait l’auteure, sans qu’il n’ait jamais été officiellement décelé chez Perelman, aide à mieux comprendre.

A travers ce personnage, vu par une compilation de dires de témoins, par ailleurs relativement peu nombreux, la question mathématique soulevée est pertinente et compréhensible. Une définition du problème est donnée sur techno-science :

La conjecture de Poincaré fait partie d’un domaine des mathématiques appelé topologie, connu aussi sous le nom de « géométrie du caoutchouc » parce qu’il a trait à des surfaces qui sont étirées de façon arbitraire. La conjecture, proposée en 1904 par Henri Poincaré, décrit un test pour démontrer qu’un espace est équivalent à une « hypersphère », la surface à trois dimensions d’une balle à quatre dimensions.

En topologie, on résout souvent un problème dans toutes les dimensions (même si au-delà de la troisième, l’esprit humain ne peut pas se le représenter). Dans la dimension 2, on peut étirer chaque surface sans trou pour qu’elle forme une sphère en 3 dimension. Et on obtiendra toujours une sphère. Pour la dimension 2, la démonstration date du XIXème siècle. La dimension 3 était celle qui préoccupait le plus Poincaré. En l’étirant, on obtiendrait toujours une hypersphère, encore faut-il le démontrer. Il tenta des démonstrations, mais s’empêtra lui-même dans des erreurs. Des tentatives fructueuses furent ensuite menées pour démontrer cette conjecture pour des dimensions supérieures. Voici un extrait du livre :

A l’aube des années 1960, plusieurs mathématiciens (même si on ne sait toujours pas combien exactement) ont réussi à apporter la preuve de cette conjecture dans des univers à cinq dimensions ou plus. L’un d’entre eux, l’Américain John Stallings, publia une démonstration de la conjecture pour sept dimensions ou plus, un an à peine après avoir soutenu sa thèse à Princeton. Un autre, Stephen Smale, américain lui aussi, qui avait sans doute rassemblé ses preuves avant Stallings, mais publié ses résultats quelques mois plus tard, avait prouvé la conjecture dans les dimensions 5 ou supérieures. Puis le mathématicien britannique Christopher Zeeman a étendu la démonstration de Stallings aux dimensions 5 et 6. Un quatrième homme, Andrew Wallace, un mathématicien américain, a publié en 1961 une démonstration proche de celle de Smale. Un mathématicien japonais, Hiroshi Yamasuge, a fait état de ses propres résultats pour les dimensions 5 et plus en 1961. […] Il fallut attendre vingt ans avant qu’une nouvelle brèche ne s’entrouvre. En 1982, le jeune mathématicien (il n’avait que trente et un ans à l’époque) Michael Freedman a publié la preuve de la conjecture en dimension 4. L’article fut salué comme une nouvelle avancée et Freedman se vit attribuer la médaille Fields. Cependant, la conjecture en dimension 3 restait toujours à résoudre. Aucune des méthodes utilisées pour les autres dimensions ne semblait fonctionner. Il n’y avait pas assez d’espace dans un univers à trois dimensions pour permettre aux mathématiciens de déployer les outils qu’ils utilisaient dans les dimensions supérieures. Il semblait nécessaire de recourir à une approche révolutionnaire, que Poincaré lui-même n’aurait pu imaginer, ni même soupçonner.

Avec cette pointe de suspense haletant, le livre nous emmène vers la solution, et son géniteur, dont on connaît à ce stade du livre toute l’enfance. Le problème dans la dimension 3 est le plus intéressant, puisque c’est celui dans lequel nous évoluons. La conjecture de Poincaré, de la branche de la topologie, est très attachée à la conjecture dite de géométrisation, qui par sa résolution entraîne une meilleure connaissance de notre univers.

Dans une rare interview de Perelman (lire ici), il admettra, pour justifier le refus des prix les plus prestigieux du monde mathématique :

Pourquoi ai-je mis tant d’années pour résoudre la conjecture de Poincaré? J’ai appris à détecter les vides. Avec mes collègues nous étudions les mécanismes visant à combler les vides sociaux et économiques. Les vides sont partout. On peut les détecter et cela donne beaucoup de possibilités… Je sais comment diriger l’Univers. Dites-moi alors, à quoi bon courir après un million de dollars?